ESOs: Das Black-Scholes-Modell verwenden Unternehmen müssen ein Optionspreismodell verwenden, um den Fair Value ihrer Mitarbeiterbeteiligungsoptionen (ESOs) zu bezahlen. Hier zeigen wir, wie Unternehmen diese Schätzungen nach den bis April 2004 geltenden Regeln darstellen. Eine Option hat einen Mindestwert Eine typische ESO hat einen Zeitwert, aber keinen intrinsischen Wert. Aber die Option ist mehr wert als nichts. Minimalwert ist der Mindestpreis, den jemand bereit wäre, für die Option zu zahlen. Es ist der Wert, der durch zwei vorgeschlagene Gesetzgebungen (die Enzi-Reid und Baker-Eshoo Kongressrechnungen) befürwortet wird. Es ist auch der Wert, den private Unternehmen nutzen können, um ihre Zuschüsse zu bewerten. Wenn Sie Null als Volatilitätseingang in das Black-Scholes-Modell verwenden, erhalten Sie den Minimalwert. Private Unternehmen können den Mindestwert verwenden, da ihnen eine Handelsgeschichte fehlt, was es schwierig macht, die Volatilität zu messen. Gesetzgeber wie der Mindestwert, weil sie die Volatilität - eine Quelle der großen Kontroversen - aus der Gleichung entfernt. Insbesondere die Hightech-Gemeinschaft versucht, die Black-Scholes zu untergraben, indem sie die Unzuverlässigkeit der Volatilität behauptet. Leider entfernt die Beseitigung der Volatilität unfair Vergleiche, weil sie alle Risiken beseitigt. Zum Beispiel hat eine 50-Option auf Wal-Mart-Aktien denselben Mindestwert wie eine 50-Option auf einem High-Tech-Aktien. Der Mindestwert setzt voraus, dass der Bestand mindestens um den risikofreien Zinssatz wachsen muss (z. B. die Rendite von fünf oder zehn Jahren). Wir veranschaulichen die untenstehende Idee, indem wir eine 30 Option mit einem 10-jährigen und einem fünf risikolosen Zinssatz (und keine Dividenden) untersuchen: Sie sehen, dass das Minimalwertmodell drei Dinge macht: (1) Der risikolose Zinssatz für die volle Laufzeit, (2) eine Ausübung und (3) den zukünftigen Gewinn auf den Barwert mit demselben risikolosen Zinssatz diskontiert. Berechnung des Mindestwertes Wenn wir erwarten, dass eine Aktie mindestens eine risikofreie Rendite nach der Mindestwertmethode erzielt, reduzieren Dividenden den Wert der Option (da der Optionsinhaber auf Dividenden verzichtet). Setzen wir einen anderen Weg, wenn wir einen risikofreien Satz für die Gesamtrendite, aber einige der Rückkehr Lecks zu Dividenden übernehmen, wird die erwartete Preiserhöhung niedriger sein. Das Modell spiegelt diese niedrigere Wertschätzung durch eine Verringerung des Aktienkurses wider. In den beiden Exponaten unten bilden wir die Minimalwertformel. Die erste zeigt, wie wir einen Mindestwert für eine nicht dividendenberechtigte Aktie erreichen, die zweite ersetzt einen reduzierten Aktienkurs in die gleiche Gleichung, um die reduzierende Wirkung von Dividenden widerzuspiegeln. Hier ist die Mindestwertformel für eine dividendenberechtigte Aktie: s Aktienkurs e Eulers-Konstante (2.718) d Dividendenrendite t Optionsausdruck k Ausübungspreis r risikoloser Zinssatz Sorgen Sie sich nicht um die Konstante e (2.718) Nur einen Weg, um zusammen und Rabatt kontinuierlich anstelle der Compoundierung in jährlichen Abständen. Black-Scholes Mindestwertvolatilität Wir können die Black-Scholes als gleichwertig ansehen mit den Optionen Mindestwert plus Zusatzwert für die Optionsvolatilität: Je größer die Volatilität ist, desto größer ist der zusätzliche Wert. Graphisch können wir den Minimalwert als eine aufsteigende Funktion des Optionsausdrucks sehen. Volatilität ist ein Plus-up auf der Minimalwertlinie. Diejenigen, die mathematisch geneigt sind, können es vorziehen, die Black-Scholes zu verstehen, indem sie die von uns bereits genannte Minimalwertformel nehmen und zwei Flüchtigkeitsfaktoren (N1 und N2) addieren. Gemeinsam erhöhen diese den Wert je nach Volatilitätsgrad. Black-Scholes muss für ESO angepasst werden Black-Scholes schätzt den Fair Value einer Option. Es handelt sich um ein theoretisches Modell, das mehrere Annahmen einschließlich der vollständigen Handelsfähigkeit der Option (dh des Ausmaßes, in dem die Option an den Optionsinhabern ausgeübt oder verkauft werden kann), und eine konstante Volatilität während des gesamten Optionslebens umfasst. Wenn die Annahmen korrekt sind, ist das Modell ein mathematischer Beweis und seine Preisausgabe muss korrekt sein. Aber streng genommen sind die Annahmen wahrscheinlich nicht korrekt. Zum Beispiel braucht es Aktienkurse, um in einem Weg namens Brown'sche Bewegung zu bewegen - eine faszinierende Zufallswanderung, die tatsächlich in mikroskopischen Partikeln beobachtet wird. Viele Studien bestreiten, dass sich die Bestände nur auf diese Weise bewegen. Andere denken, Brown'sche Bewegung nähert sich eng genug, und betrachten die Black-Scholes eine ungenaue, aber nützliche Schätzung. Für kurzfristige gehandelte Optionen sind die Black-Scholes in vielen empirischen Tests äußerst erfolgreich gewesen, die die Preisentwicklung mit den beobachteten Marktpreisen vergleichen. Es gibt drei wesentliche Unterschiede zwischen ESOs und kurzfristigen gehandelten Optionen (die in der nachstehenden Tabelle zusammengefasst sind). In technischer Hinsicht verstößt jede dieser Unterschiede gegen eine Black-Scholes-Annahme - eine Tatsache, die durch die Rechnungslegungsvorschriften in FAS 123 in Betracht gezogen wird. Diese beinhalteten zwei Anpassungen oder Fixierungen an den Modellen natürliche Leistung, aber die dritte Differenz - dass die Volatilität nicht über die ungewöhnlich langen konstant bleiben kann Leben einer ESO - wurde nicht angesprochen. Hier sind die drei Unterschiede und die vorgeschlagenen Bewertungskorrekturen vorgeschlagen FAS 123, die noch gültig sind Stand März 2004. Die wichtigste Fix unter den aktuellen Regeln ist, dass Unternehmen können die erwartete Lebensdauer im Modell anstelle der tatsächlichen volle Laufzeit. Es ist typisch für ein Unternehmen, eine erwartete Lebensdauer von vier bis sechs Jahren verwenden, um Optionen mit 10-Jahres-Bedingungen zu bewerten. Das ist eine unangenehme Verlegenheit - eine Band-Hilfe, wirklich - seit Black-Scholes den eigentlichen Begriff verlangt. Aber FASB war auf der Suche nach einem quasi-objektiven Weg, den ESO-Wert zu reduzieren, da er nicht gehandelt wird (das heißt, den ESO-Wert für seinen Mangel an Liquidität zu reduzieren). Fazit - Praktische Effekte Der Black-Scholes ist empfindlich auf mehrere Variablen, aber wenn wir eine 10-jährige Option auf eine Dividendenausschüttung und eine risikofreie Rate von 5 annehmen, ergibt sich der Minimalwert (vorausgesetzt keine Volatilität) Des Aktienkurses. Wenn wir die erwartete Volatilität von z. B. 50 hinzufügen, verdoppelt sich der Optionswert in etwa auf fast 60 des Aktienkurses. Also, für diese besondere Option, Black-Scholes gibt uns 60 der Aktienkurs. Aber wenn es auf eine ESO angewendet wird, kann ein Unternehmen die tatsächlichen 10-Jahres-Term-Input auf eine kürzere erwartete Lebensdauer zu reduzieren. Für das obige Beispiel reduziert die Verringerung der 10-Jahres-Laufzeit auf eine Fünf-Jahres-erwartete Leben bringt den Wert auf etwa 45 der Nennwert (und eine Reduktion von mindestens 10-20 ist typisch, wenn die Reduzierung der Begriff auf die erwartete Lebensdauer). Schließlich bekommt das Unternehmen eine Friseuse Reduktion in Erwartung der Verfall aufgrund der Mitarbeiter Umsatz zu nehmen. In dieser Hinsicht wäre ein weiterer Haarschnitt von 5-15 üblich. So würden in unserem Beispiel die 45 weiter auf eine Aufwandsentschädigung von etwa 30-40 des Aktienkurses reduziert werden. Nach dem Hinzufügen von Volatilität und dann Subtraktion für einen reduzierten erwarteten Lebensdauer und erwarteten verwirkt, sind wir fast wieder auf den Mindestwert ESOs: Verwenden des Binomial-Modell Abonnieren Sie den Personal Finance Newsletter, um festzustellen, welche Finanzprodukte am besten zu Ihrem Lebensstil Dank für die Anmeldung Zu Personal Finance. Black Scholes-Modell Was ist das Black Scholes-Modell Das Black-Scholes-Modell, auch als Black-Scholes-Merton-Modell bekannt, ist ein Modell der Preisveränderung im Laufe der Zeit von Finanzinstrumenten wie Aktien, die unter anderem, Den Preis einer europäischen Call-Option zu bestimmen. Das Modell geht davon aus, dass der Preis für stark gehandelte Vermögenswerte einer geometrischen Brownschen Bewegung mit konstanter Drift und Volatilität folgt. Bei Anwendung auf eine Aktienoption. Das Modell beinhaltet die konstante Preisvariation der Aktie, die Zeitwert des Geldes. Der Optionsausübungspreis und die Zeit bis zum Auslaufen der Optionen. VIDEO Laden des Players. BREAKING DOWN Black Scholes Modell Das Black Scholes Modell ist eines der wichtigsten Konzepte der modernen Finanztheorie. Es wurde 1973 von Fisher Black, Robert Merton und Myron Scholes entwickelt und ist noch weit verbreitet im Jahr 2016. Es gilt als eine der besten Möglichkeiten, um faire Preise von Optionen bestimmen. Das Black Scholes-Modell benötigt fünf Eingangsgrößen: den Ausübungspreis einer Option, den aktuellen Aktienkurs, die Zeit bis zum Auslaufen, den risikofreien Zins und die Volatilität. Darüber hinaus geht das Modell davon aus, dass die Aktienkurse einer logarithmischen Verteilung folgen, da die Vermögenspreise nicht negativ sein können. Darüber hinaus geht das Modell davon aus, dass es keine Transaktionskosten oder Steuern gibt, wobei der risikofreie Zinssatz für alle Laufzeiten konstant ist, wobei Leerverkäufe von Wertpapieren unter Verwendung von Erträgen zulässig sind und keine risikolosen Arbitragemöglichkeiten bestehen. Black-Scholes-Formel Die Black-Scholes-Call-Optionsformel wird durch Multiplikation des Aktienkurses mit der kumulativen Standard-Normalwahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion berechnet. Danach wird der Nettobarwert (NPV) des Ausübungspreises multipliziert mit der kumulativen Normalnormalverteilung von dem resultierenden Wert der vorherigen Berechnung subtrahiert. In der mathematischen Schreibweise ist C SN (d1) - Ke (-rT) N (d2). Umgekehrt könnte der Wert einer Put-Option nach folgender Formel berechnet werden: P Ke (-rT) N (-d2) - SN (-d1). In beiden Formeln ist S der Aktienkurs, K ist der Ausübungspreis, r ist der risikofreie Zinssatz und T ist die Zeit bis zur Fälligkeit. Die Formel für d1 ist: (ln (S / K) (r (annualisierte Volatilität) 2/2) T) / (annualisierte Volatilität (T (0,5))). Die Formel für d2 ist: d1 - (annualisierte Volatilität) (T (0,5)). Einschränkungen Wie bereits erwähnt, wird das Black Scholes-Modell nur zum Preis von europäischen Optionen verwendet und berücksichtigt nicht, dass amerikanische Optionen vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden können. Darüber hinaus geht das Modell davon aus, dass Dividenden und risikofreie Zinsen konstant sind, aber dies kann in der Realität nicht wahr sein. Das Modell geht davon aus, dass die Volatilität über die Optionenlebensdauer konstant bleibt, was nicht der Fall ist, weil die Volatilität mit dem Niveau von Angebot und Nachfrage schwankt. Mit Black-Scholes einen Wert auf Aktienoptionen setzen (LifeWire) Mit Aktienoptionen könnte vermeiden, die Kosten dieser Optionen als Aufwand abzuziehen. Die Regeln änderten sich im Jahr 2005, als die Buchhaltung ihre Richtlinien für aktienbasierte Zahlungen in einer Regel mit dem Namen FAS 123 (R) aktualisiert hat. Heute wählen Unternehmen aus einer von zwei Methoden, um die Anschaffungskosten eines Mitarbeiters zu bewerten: ein Black-Scholes-Modell oder ein Gittermodell. Unabhängig davon, welche sie wählen, müssen sie die Optionen auf ihre Gewinne abziehen und so die Gewinnanteile senken. Das Black-Scholes-Modell ist eine Nobelpreis-gewinnende Formel, die den theoretischen Wert einer Option auf der Basis einer Reihe von Variablen bestimmen kann. Da die Optionen den Mitarbeitern arent-Repliken von börsengehandelten Optionen gewähren, erfordern die Black-Scholes-Regeln eine Änderung der Mitarbeiteroptionen. Die Modellgleichung ist komplex, aber die Variablen sind einfach zu verstehen. Sie sind auch hilfreich bei der Bestimmung der Konsequenzen von Investitionen in Unternehmen, deren Aktien haben eine höhere Volatilität. Um zu sehen, ob ein Unternehmen Black-Scholes verwendet, um seine Optionen zu bewerten, und die Annahmen, die es über die Optionen macht, überprüfen Sie seine neuesten 10-Q-Quartalsbericht auf der Website der Securities and Exchange Commission. Warum Optionen sind schwer zu bewerten Wenn ein Unternehmen eine 1 Million Cash-Bonus auf seine Chief Executive Officer gibt, sind die Kosten klar. Aber wenn es gibt dem CEO das Recht, eine Million Aktien der Aktie bei 25 pro Aktie irgendwann in der Zukunft kaufen, sind die Kosten nicht einfach zu zahlen. Beispielsweise könnte die Option wertlos werden, wenn der Bestand während der Gültigkeitsdauer der Option nicht über 25 ansteigt. Black-Scholes kann die theoretischen Kosten der Option zum Zeitpunkt der Ausgabe an den Mitarbeiter bestimmen. Drei Faktoren beeinflussen in der Regel den Preis einer Option unter Black-Scholes, nach dem Options Industry Council, eine Handelsgruppe: Die Optionen intrinsischen Wert. Die Wahrscheinlichkeit einer signifikanten Veränderung der Bestände. Die Kosten für Geld oder Zinsen. Das Black-Scholes-Preismodell berücksichtigt den aktuellen Kurs einer Aktie und den Zielpreis als zwei kritische Variablen bei der Preisgabe einer Option. Eine Call-Option, die Sie vielleicht zurückrufen können, gibt dem Inhaber das Recht, eine Aktie zu einem festgelegten Kursziel innerhalb eines bestimmten Zeitraums zu kaufen, egal wie hoch die Aktie steigt. Betrachten Sie zwei Call-Optionen auf der gleichen 10-Aktie - eine mit einem Zielpreis von 12 und eine mit einem Zielpreis von 15. Ein Investor würde mehr für die Option mit einem 12-Richtpreis bezahlen, weil die Aktien nur 2,01 steigen müssen Die Möglichkeit, wertvoll zu werden, oder in das Geld. Diese Faktoren sind für Mitarbeiteraktienoptionen im Allgemeinen weniger signifikant. Das ist, weil Unternehmen in der Regel Mitarbeiteroptionen mit einem Zielpreis ausgeben, der mit dem Marktpreis am Tag der Ausgabe der Optionen identisch ist. Wahrscheinlichkeit einer signifikanten Änderung: Zeit, bis die Option unter dem Black-Scholes-Modell abläuft, ist eine Option mit einer längeren Lebensdauer wertvoller als eine ansonsten identische Option, die früher abläuft. Das macht logisch Sinn: Mit mehr Zeit zum Traden hat eine Aktie eine größere Chance, ihren Zielpreis zu übertreffen. Um zu veranschaulichen, betrachten Sie zwei identische Call-Optionen auf Aktien der ABT Corp. und gehen davon aus, dass es derzeit handelt für 37 eine Aktie. Die Option, die im November ausläuft, hat zusätzliche vier Monate, um über 43 zu steigen, also ist es wertvoller als eine identische Juli-Option. Mitarbeiteraktienoptionen vergehen oft viele Jahre hinunter, manchmal ein Jahrzehnt später. Aber Mitarbeiter oft Optionen, bevor sie auslaufen. Daher müssen Unternehmen nicht davon ausgehen, dass die Option am letzten Tag ihrer Gültigkeit ausgeübt wird. Bei der Berechnung der Kosten für eine Option, Unternehmen nehmen in der Regel eine kürzere Zeitspanne - sagen, vier Jahre für eine 10-Jahres-Option. Es macht Sinn, warum theyd dies tun wollen: Unter Black-Scholes reduzieren kürzere Begriffe den Wert einer Option und reduzieren so die Kosten der Optionsgewährung für das Unternehmen. Wahrscheinlichkeit signifikanter Veränderung: Volatilität Bei Black-Scholes ist die Volatilität golden. Betrachten Sie zwei Unternehmen, Boring Story Inc. und Wild Child Corp., die beide geschehen, um für 25 eine Aktie Handel. Nun betrachten Sie eine 30-Call-Option auf diese Aktien. Für diese Optionen, um in das Geld zu werden, müssen die Aktien um 5 erhöhen, bevor die Option abläuft. Aus Sicht der Anleger wäre die Option auf Wild Child, die wild auf dem Markt schwankt, natürlich wertvoller als die Option auf Boring Story, die sich historisch kaum verändert hat. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um Volatilität zu messen, aber alle von ihnen zielen darauf ab, eine Bestände Tendenz zu steigen und fallen. Implikationen für Investoren ist, dass Unternehmen, deren Aktienkurse mehr volatil sind, einen höheren Preis zahlen, um Optionen an Mitarbeiter auszugeben. Höhere Zinsen erhöhen den Wert einer Call-Option und erhöhen die Kosten für die Ausgabe von Aktienoptionen an Mitarbeiter. Wenn die Federal Reserve die Zinsen erhöht, tendiert dies dazu, Aktienoptionszuschüsse für Unternehmen teurer zu machen. Preise beeinflussen Optionen Preise wegen der Bedeutung der Zeit Wert des Geldes in Optionen. Betrachten Sie eine Person Kaufoptionen für 100 Aktien von ManyPenny Inc. mit einem Kursziel von 20 Jahren. Der Anleger kann nur einen kleinen Betrag für die Option, sondern kann beiseite legen 2.000 zur Deckung der eventuellen Kosten der Ausübung der Option und den Kauf der 100 Aktien von Stock. Wenn die Zinsen steigen, können die Optionen Käufer mehr Interesse auf, dass 2.000 Reserve zu verdienen. Als Folge, wenn die Zinsen höher sind, sind Käufer von Call-Optionen in der Regel bereit, mehr für eine Option zu zahlen. Für weitere Informationen Die Financial Accounting Standards Board, ein unabhängiges Gremium, das Standard-Rechnungslegungsverfahren erstellt, bietet eine Online-Erklärung über ihre Regel FAS 123 (R). Die sich auf die Preisbildung von Mitarbeiteraktienoptionen und anderen aktienbasierten Vergütungen bezieht. Die Optionen Industry Council bietet eine Online-Tutorial zu Optionen Preisgestaltung. Die Königlich Schwedische Akademie der Wissenschaften platziert ihr Zitat von 1997, als sie den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften an Robert C. Merton und Myron S. Scholes verlieh, der in Zusammenarbeit mit dem verstorbenen Fischer Black das Black-Scholes-Optionspreismodell entwickelte. ERIs Black-Scholes-Rechner Gleichung Dieser Online-Rechner verwendet die Black-Scholes-Gleichung für den Fair Value einer europäischen Call-Option auf einer nicht dividendenberechtigten Aktie wie folgt: Eine europäische Call-Option kann nur am Ablaufdatum ausgeübt werden. Dies steht im Gegensatz zu amerikanischen Optionen, die jederzeit vor dem Verfall ausgeübt werden können. Eine europäische Option wird verwendet, um die Variablen in der Gleichung zu reduzieren. Dies ist zulässig, da die meisten US-Aktienoptionsoptionen nicht bis zu ihrem Verfalldatum ausgeübt werden. Warum Wenn ein Mitarbeiter einen Anruf frühzeitig ausführt, verliert er den verbleibenden Zeitwert auf den Anruf und erhebt nur den intrinsischen Wert. Disclaimer: Dieser Black-Scholes-Rechner ist nicht als Grundlage für Handelsentscheidungen gedacht. Es wird keine Haftung für die Richtigkeit oder Eignung für einen bestimmten Zweck übernommen. Benutzung auf eigene Gefahr. Um mehr darüber zu erfahren, wie Sie die Black-Scholes-Methode nutzen, um einen Wert auf Aktienoptionen zu legen, finden Sie im ERI Distance Learning Center Online-Kurs Black-Scholes-Bewertungen. Relevante Black Scholes Definitionen (alle Werte sind pro Aktie) Das Black Scholes Optionspreismodell bestimmt den Marktwert der europäischen Optionen, kann aber auch zur Bewertung amerikanischer Optionen herangezogen werden. Die aktuelle Formel kann hier eingesehen werden. Stock Asset Price Eine Aktie aktuellen Preis, öffentlich gehandelt oder geschätzt. Option Basispreis Vorbestimmter Kurs (vom Optionsschreiber), an dem eine Optionsaktie gekauft oder verkauft wird. Fälligkeit (Zeit bis Verfall) Verbleibende Zeit bis zum Ablaufdatum der Option. Risikofreier Zinssatz Aktueller Zinssatz kurzfristiger Staatsanleihen wie US-Schatzwechsel. Grad der unvorhersehbaren Veränderung im Laufe der Zeit eines Optionen Aktienkurs oft ausgedrückt als Standardabweichung des Aktienkurses. US-Marktwert einer Option bei Verfall ausgeübt wird. Eine Kaufoption gibt dem Käufer (dem Optionsinhaber) das Recht, Aktien vom Verkäufer (der Optionsschreiber) zum Ausübungspreis zu kaufen. US-Marktwert einer Option bei Verfall ausgeübt wird. Eine Put-Option gibt dem Käufer (dem Optionsinhaber) das Recht, die gekauften Aktien an den Schreiber der Option zum Ausübungspreis zu verkaufen. Eine europäische Option kann nur am Ablaufdatum ausgeübt werden. Eine amerikanische Option kann jederzeit während der Laufzeit der Option ausgeübt werden. Allerdings ist es in den meisten Fällen akzeptabel, eine amerikanische Option mit dem Black Scholes-Modell zu bewerten, weil amerikanische Optionen selten vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden. Das Black and Scholes-Modell: Das Black and Scholes Optionspreismodell erschien nicht über Nacht, Fisher Black begann mit der Schaffung eines Bewertungsmodells für Aktienoptionsscheine. Diese Arbeit beinhaltete die Berechnung eines Derivats, um zu messen, wie der Diskontsatz eines Optionsscheins mit der Zeit und dem Aktienkurs variiert. Das Ergebnis dieser Berechnung war eine bemerkenswerte Ähnlichkeit mit einer bekannten Wärmeübertragungsgleichung. Bald nach dieser Entdeckung, Myron Scholes trat Black und das Ergebnis ihrer Arbeit ist ein erschreckend genaue Option Preismodell. Schwarz und Scholes können nicht alle Kredit für ihre Arbeit, in der Tat ist ihr Modell tatsächlich eine verbesserte Version eines früheren Modells von A. James Boness in seinem Ph. D. Dissertation an der Universität von Chicago. Black und Scholes Verbesserungen auf der Boness-Modell in Form eines Nachweises, dass der risikofreie Zinssatz der richtige Rabatt Faktor ist, und mit dem Fehlen von Annahmen über Investoren Risikopräferenzen kommen. Um das Modell selbst zu verstehen, teilen wir es in zwei Teile. Der erste Teil, SN (d1), leitet den erwarteten Nutzen aus dem Erwerb einer Aktie vollständig ab. Dies wird durch Multiplikation des Aktienkurses S mit der Änderung der Aufrufprämie gegenüber einer Änderung des zugrunde liegenden Aktienkurses N (d1) festgestellt. Der zweite Teil des Modells Ke (-rt) N (d2) gibt den Barwert der Auszahlung des Ausübungspreises am Verfalltag an. Der Marktwert der Call-Option wird dann durch die Differenz zwischen diesen beiden Teilen berechnet. Annahmen des Schwarzen und Scholes Modell: 1) Die Aktie zahlt keine Dividenden während der Optionslaufzeit Die meisten Unternehmen zahlen Dividenden an ihre Anteilseigner, so dass dies eine ernsthafte Einschränkung des Modells sein könnte, wenn man bedenkt, dass höhere Dividendenrenditen niedrigere Aufrufprämien auslösen. Eine gemeinsame Methode zur Anpassung des Modells für diese Situation ist es, den diskontierten Wert einer zukünftigen Dividende vom Aktienkurs abzuziehen. 2) Europäische Ausübungsbegriffe werden nach europäischen Ausübungsregeln vorgeschrieben, dass die Option nur am Verfallsdatum ausgeübt werden kann. Amerikanische Ausübungsfrist erlaubt die Option, zu jeder Zeit während der Lebensdauer der Option ausgeübt zu werden, wodurch amerikanische Optionen aufgrund ihrer größeren Flexibilität wertvoller werden. Diese Einschränkung ist kein großes Problem, weil nur wenige Anrufe jemals vor den letzten Tagen ihres Lebens ausgeübt werden. Dies trifft zu, weil, wenn Sie einen Anruf frühzeitig ausführen, Sie den verbleibenden Zeitwert auf dem Anruf verfallen und den intrinsischen Wert sammeln. Gegen Ende der Lebensdauer eines Anrufs ist der verbleibende Zeitwert sehr klein, aber der innere Wert ist der gleiche. 3) Märkte sind effizient Diese Annahme deutet darauf hin, dass Menschen nicht konsequent voraussagen können, die Richtung des Marktes oder eine einzelne Aktie. Der Markt operiert kontinuierlich mit Aktienkursen nach einem kontinuierlichen It-Prozess. Um zu verstehen, was ein kontinuierlicher Prozess ist, müssen Sie zunächst wissen, dass ein Markov-Prozess eine ist, bei der die Beobachtung in der Zeitperiode t nur von der vorhergehenden Beobachtung abhängt. Ein It-Prozess ist einfach ein Markoff-Prozess in kontinuierlicher Zeit. Wenn Sie einen kontinuierlichen Prozess zu zeichnen, würden Sie dies tun, ohne den Stift aus dem Stück Papier. 4) Es werden keine Provisionen erhoben In der Regel müssen die Marktteilnehmer eine Provision für den Kauf oder Verkauf von Optionen zahlen. Auch Boden Händler zahlen eine Art von Gebühr, aber es ist in der Regel sehr klein. Die Gebühren, die einzelne Anleger zahlen, ist wesentlich und kann oft die Produktion des Modells verzerren. 5) Die Zinsen bleiben konstant und bekannt Das Black and Scholes-Modell verwendet die risikofreie Rate, um diese konstante und bekannte Rate darzustellen. In Wirklichkeit gibt es so etwas wie den risikofreien Zinssatz nicht, aber der Diskontsatz für US-Staatsschatzwechsel mit 30 Tagen bis zur Fälligkeit wird gewöhnlich verwendet, um ihn zu vertreten. In Zeiten sehr rasch wechselnder Zinsen unterliegen diese 30-Tage-Raten häufig Änderungen und verletzen somit eine der Annahmen des Modells. 6) Die Renditen sind logarithmisch verteilt Diese Annahme schlägt vor, dass die Renditen des Basiswertes normal verteilt werden, was für die meisten Vermögenswerte, die Optionen anbieten, angemessen ist.
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